Vérifiez que le tour marche pour n'importe quel nombre avec le simulateur suivant !

III. La preuve par n'œuf

Pour "deviner" le chiffre choisi, on additionne les valeurs des cartes restantes sur la table. Si le résultat est un nombre à plusieurs chiffres, on additionne à nouveau les chiffres du nombre. Enfin, quand le résultat ne comporte plus qu'un chiffre, on soustrait à neuf ce chiffre. Pourquoi ce calcul fonctionne ?

A. Interprétation mathématiques des éléments à démontrer

         Pour comprendre comment cela fonctionne, nous allons devoir utiliser un modèle : le modèle mathématique, et plus précisément les congruences.
On dit qu'un nombre est congru à un autre modulo un troisième nombre si la soustraction d'un nombre à l'autre est un multiple du modulo. Ainsi a congru à b modulo n si a-b est un multiple de n, c'est-à-dire : a-b = kn. On note cela :
a ≡ b (n)
Le signe congruence est donc : ≡.
         Nous allons chercher ce qu'il faut démontrer. Tout d'abord, on enlève la somme des chiffres du deuxième nombre à 9, et on trouve le résultat, ce qui nous donne mathématiquement :
9 - somme des chiffres restants = dernier chiffre, c'est-à-dire que la somme de tous les chiffres vaut 9.
Ceci est une propriété bien connue des multiples de neuf : la somme des chiffres d'un multiple de neuf est un multiple de neuf.
Pourquoi la somme des chiffres d'un multiple de neuf est un multiple de neuf ?
         Il faut donc avoir un multiple de neuf pour que le tour fonctionne. Pour l'obtenir, on demande au spectateur d'enlever au chiffre de départ ( pas forcément un multiple de neuf ) la somme de ses chiffres : cette opération nous donne à coup sûr un multiple de neuf.
Pourquoi la différence d'un nombre et de la somme de ses chiffres est un multiple de neuf ?

B. Démonstration générale

Nous allons tenter de répondre à la deuxième question, puis nous verrons que celle-ci répond également à la première. Il faut donc montrer que la différence de n'importe quel nombre et de la somme de ses chiffres est un multiple de neuf. Soit n un entier à p chiffres, il est donc de la forme : x_px_p-1...x₁x₀ ( une suite de chiffres).
Par ailleurs, on peut l'obtenir en additionnant le chiffre des unités avec le chiffres de dizaines multiplié par 10, avec le chiffre des centaines multiplié par 100... D'où n = x₀ + x₁10¹ + x₂10² ... + x_p10^p.
Soit S la somme de ses chiffres.
S = x₀ + x₁ + x₂ ... + x_p.

10 ≡ 1 (9)
On admettra alors que tout multiple de 10 auquel on enlève 1 est divisible par 9, donc
10^k ≡ 1 (9)

Démonstration multiplication :
Or si x ≡ y (n)
alors x-y = kn
Soit a un entier relatif
d'où a(x-y)=a * kn
ax - ay = ak * n
avec k'=ak, on a
ax-ay = k'n
c'est-à-dire ax ≡ ay (n)
-> Si x ≡ y (n), alors ax ≡ ay (n) <-

10^k ≡ 1 (9), alors x_k10^k ≡ x_k (9)
pour chaque x, il est congruent à lui-même multiplié par une puissance de 10 modulo 9
d'où x₀ ≡ x₀10⁰ (9)
x₁ ≡ x₁10¹ (9)
x₂ ≡ x₂10² (9)
x₃ ≡ x₃10³ (9)

Démonstration addition :
Si x ≡ y (n) et x' ≡ y' (n)
Alors x-y = kn et x'-y'=k'n
(x-y)+(x'-y') = kn + k'n
C'est-à-dire (x+x') - (y+y') = (k+k')n
Avec k"=k+k'
(x+x') - (y+y') = k"n
->Si x ≡ y (n) et x' ≡ y' (n),
alors x+x' ≡ y+y' (n) <-

donc x₀ + x₁10¹ + x₂10² + x_p10^p ≡ x₀ + x₁ + x₂ + x_p (9)

Donc un nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9.
Soit n un nombre et S la somme de ses chiffres.
n ≡ S (9)
c'est-à-dire n-S = 9k
Donc quand on retire à un nombre la somme de ses chiffres, on obtient un multiple de neuf.

C. Interprétation

         Par ailleurs, si un nombre est divisible par neuf, alors pour obtenir un autre nombre divisible par neuf, il faut lui retirer un multiple de neuf. Voilà pourquoi la somme des chiffres d'un multiple de neuf est un multiple de neuf.
En effet :
9k - S = 9k' ( car la différence d'un nombre et de la somme de ses chiffres est un multiple de neuf)
<=> -S = 9k'-9k
<=> S = 9k-9k'
<=> S = 9(k-k')
<=> S = 9k"
Donc S ( la somme des chiffres du nombre ) est bien un multiple de neuf.

         Soit S' la somme des chiffres restants et c le chiffre manquant.
Le nombre est divisible par neuf, donc la somme de ses chiffres est un multiple de 9, ce qui nous donne :
S' + c = 9k
c'est-à-dire c = 9k - S'
Or on ne connait pas k qui varie selon les cas. Pour y remédier nous soustrayons directement à 9. Or si S' a plusieurs chiffres ( supérieur à 9 ), le résultat serait négatif. Pour éviter cela, on ajoute les chiffres de S' tant que S' > 9. Pour que cela ne change pas le résultat, il faut que :
9 - S" = 9k - S'
<=> -S" = 9k - S' - 9
<=> -S" = 9(k-1) - S'
<=> S" = S' - 9(k-1)
<=> S" - S' = 9(1-k) et k≠1, car 0≤c≤9 et c = 9k - S' donc si k=1, 0≤S'≤9, donc pas besoin "d'additionner" le chiffre de S'
<=> S" ≡ S' (9)
         Or S" est la somme des chiffres de S', et tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9. On peut donc prendre la somme des chiffres de S' ( puis de S", etc... ) autant de fois que l'on veut, cela ne change rien. Pour finir, on veut en réalité que 0≤c≤9. Comme 0≤S'≤9, on prend k=1 dans l'expression : c = 9k - S". Cependant, si S"=9, avec k=1 on a c = 9 - 9 = 0, mais dans ce cas là, on peut également prendre k=2, ce qui nous donnerais c = 18 - 9 = 9. Autrement dit, cela s'explique par le fait que 0 = 9 (9).
         Donc quand la somme des chiffres restants vaut 9, on ne peut pas déterminer si le chiffre manquant est 0 ou 9 ! Heureusement, un bon prestidigitateur saura user d'un subterfuge pour transformer un 9 ... en 0 ( ou pourquoi pas l'inverse ).

Ces vérités sont utlisées pour vérifier des calculs : c'est ce qu'on appelle la preuve par neuf.

Conclusion

Ici, la science est un modèle pour le tour. En effet, avec le modèle des mathématiques et plus précisément des congruences, on parvient à expliquer, et plus précisément à interpréter le tour. Ici, la science à donc un rôle interprétatif. De plus, au milieu du spectacle, le prestidigitateur doit faire ses preuves ( par neuf ).

<- Deuxième tourTroisième tour ->